SYMBOLISCH EN ABSTRACT
Zin en de kunst van het rekenonderwijs*
Er zijn maar weinig mensen die een groot talent hebben om zowel symbolisch als abstract te kunnen denken. Dat lijkt onzin omdat de termen gemakkelijk door elkaar worden gehaald. Het verschil tussen symbolisch en abstract is dan ook subtiel, maar wel evident. Ongeveer zoals tussen een ontdekking en een uitvinding: een ontdekking is de onthulling van iets dat al bestaat en een uitvinding is de schepping van iets nieuws. Zo is een symbool een toevoeging aan de werkelijkheid en een abstractie juist de ontmanteling daarvan. Sommigen geven de voorkeur aan het laatste: de naakte waarheid. Anderen prefereren een gelaagde en rijk geschakeerde voorstelling van zaken. Beide visies zijn niet zozeer complementair, maar wel verschillend; zoals ook een haarscherpe analyse afwijkt van een caleidoscopisch perspectief, appels van peren, a’s van b’s.
Ons denkvermogen omvat tientallen mentale vaardigheden waaronder logisch redeneren, het onthouden van begrippen, patronen herkennen en verbanden leggen. Men heeft altijd graag willen weten of deze vaardigheden aan bepaalde hersengebieden zijn gebonden. Met twee verschillende disciplines is dat inmiddels in kaart gebracht, de neurofysiologie en de pathologie. Uit fMRI-beelden van levende hersenen en uit gedragsonderzoek van mensen met hersenletsel is gebleken dat er een grote mate van overlap bestaat tussen uiteenlopende hersenfuncties maar ook dat er sprake is van zogenaamde kernlocaties.
Door deze locaties in kaart te brengen heeft men afgeleid dat er een functioneel verschil is tussen de linker- en rechter hersenhelft (lateralisatie). De ene helft (meestal links) omvat de lineaire (stap voor stap), logische en analytische (ontledende) vaardigheden die gezamenlijk het begripsdenken worden genoemd. De andere helft omvat de associatieve, intuïtieve en meer holistische (omvattende) vaardigheden en staan als het beelddenken te boek. In de praktijk blijkt dat bij de meeste mensen de linkerhersenhelft en dus het begripsdenken dominant is.
Mentale vaardigheden hebben een erfelijke basis, er ligt een genetisch patroon aan ten grondslag. Net als bij muzikaliteit, logisch redeneren, organisatievermogen, assertiviteit en creativiteit: iedereen beschikt erover maar we zijn niet allemaal even rijkelijk bedeeld. Iedereen is prima in staat om zowel een samenhangend geheel te herkennen als om de afzonderlijke onderdelen te benoemen. Maar bij som-migen is het analytisch/reducerend vermogen beter ontwikkeld en bij anderen juist de kunst van synthetisch/holistisch overzicht. Slechts een enkeling blinkt uit op beide terreinen.
Maatschappelijke stromingen ontwikkelen zich in samenhang met en als reactie op andere maatschappelijke stromingen. Dat geldt voor sociaaleconomische en politieke overtuigingen, voor wetenschappelijke en technologische ontwikkelingen en voor kunstrichtingen. Het is een aaneensluiting van oorzaak en gevolg.
Abstracte ideeën kunnen toegankelijker gemaakt worden door ze te transformeren tot symbolische afbeeldingen. De bekendste voorbeelden daarvan zijn de Lorenz-attractor uit de jaren 60 die het symbool is geworden voor chaostheoretische gebeurtenissen (geringe oorzaken kunnen grote gevolgen hebben)* en de Mandelbrot-fractalen, de met een computer gegenereerde recursieve wiskundige betrekkingen tussen complexe getallen, uit de jaren 80*.
Minder bekend zijn de visualisering van uiteenlopende betrekkingen, zoals bijvoorbeeld tussen wandelaars en hun wandelroutes in Central Park (NY) door schoenmaker Nike* of tussen de recombinatie van erfelijke factoren en evolutionaire ontwikkelingen door Nils Barracelli in de jaren 50*.
Abstracte afbeeldingen moeten niet worden verward met foto's van concrete zaken die niet met het blote oog kunnen worden gezien. Het zijn bestaande objecten, bijvoorbeeld micro-organismen* of sterrennevels*.
Het symbolisme ontstond aan het eind van de 19e eeuw als reactie op het realisme. Het probeerde de herkenbare wereld uit te breiden met niet-zintuiglijk waarneembare elementen uit de fantasie en intuïtie van de kunstenaar. Deze werden als platonische ideeën toegevoegd aan het alledaagse zonder dat laatste tekort te doen.
In de abstracte kunst van ruim honderd jaar later probeerde men juist om die alledaagse werkelijkheid zoveel mogelijk achterwege te laten. Het ging alleen nog om de verbeelding. De zintuiglijk waarneembare wereld werd ge- heel vervangen door een invoelbare, vermeende wereld. Geen willekeurige fantasie maar een (persoonlijke) intuïtieve voorstelling van de werkelijkheid.
Deze twee verschillende visies lijken op de verschillen tussen het functioneren van de linker- en rechterhersenhelft. Het bedenken van totaalbeelden waarmee de werkelijkheid kan worden verrijkt (symbolen) vertoont overeenkomst met het beschreven beelddenken. Het ontleden van de werkelijkheid en deze ontdoen van alle franje lijkt sterk op het analytische begripsdenken.
De analogie is niet toevallig.
Van oudsher zijn beeldende kunstenaars symbooldenkers geweest die putten uit hun creativiteit en persoonlijke beleving, mentale vaardigheden die deel uitmaken van het beeldden-ken. In de 19e eeuw gingen de natuurwetenschappen maatschappelijk een steeds grotere rol spelen (industriële revolutie). Aan het begin van de 20e eeuw had het begripsdenken van de exacte wetenschappers een zodanige invloed in kunstzinnige kringen veroverd dat hier het abstracte denken werd omarmd. De werkelijkheid hoefde niet langer uitsluitend te worden voorzien van een goddelijk sausje maar kon ook worden teruggebracht tot zijn naturalistische essentie!
De verwantschap tussen symboliek en abstractie heeft in de loop der tijd geleid tot begripsvervaging waardoor ze gemakkelijker dreigden te worden omgewisseld. De kleur oranje staat in Nederland symbool voor onze nationale trots. Internationale sportevenementen en ons koningshuis zijn hiervan een voorbeeld. Het woord oranje is een samenvatting van deze tamelijk onschuldige vorm van nationalisme. Het gemak van hun onderlinge substitutie draagt bij aan hun schijnbare overeenkomst.
Een ander voorbeeld geeft het verschil wellicht duidelijker weer.
De regenboog staat symbool voor het levensgeluk van alle gezindten (van hemelse heerlijkheid t/m diversiteit van geaardheid). Met een eenvoudig kleurenspectrum wordt de alomvattende complexiteit van een zinvol en harmonieus bestaan gevat. Maar de regenboog is ook de fysieke abstractie van de spectrale samenstelling van wit licht (in combinatie met de kleurgevoeligheid van ons netvlies). De lineair opeenvolgende golflengtes vertonen maar een beperkt aantal kleuren (rood, oranje, geel, groen, blauw, violet). In werkelijkheid zijn er ook mengkleuren tussen rood en groen (bruintinten) en tussen rood en blauw (paarstinten; wat te denken van roze?). Met het eenvoudige kleurenspectrum wordt de werkelijkheid dus ook tekort gedaan!
Deze muggenzifterij is kenmerkend voor zogenaamde beta’s, mensen die hun analytisch/reducerend vermogen vooral richten op de ‘natuurlijke’ wereld en de afzonderlijke kleuren relevanter vinden dan hun combinatie. De synthetisch/holistisch ingestelde alfa’s hebben meer affiniteit met ‘culturele’ interpretaties en beleven juist de samengestelde vereniging, de melange, als hoogste prioriteit. (Overigens is voor beta’s ‘cultuur’ een deel van de allesomvattende ‘natuur’)
Iedereen is ermee bekend dat de een goed is in taal en de ander in rekenen. Dat begint al op de basisschool. Vroeger werd wel gezegd dat meiden beter zijn in taal en jongens in rekenen, maar dat durft niemand vol te houden, al zijn er wel aanwijzingen dat de hoeveelheid testosteron van invloed is op de prenatale ontwikkeling van het brein. Onderzoek naar de invloed daarvan op het reken- en taalvermogen wordt onvermijdelijk gekleurd door culturele vooringenomenheid en zou alleen in volledige afwezigheid van vooroordelen moeten plaatsvinden. Hetgeen menselijkerwijs onmogelijk is.
Wel is aanvaardbaar dat de maatschappij ons verdeelt in alfa’s en beta’s.
De verleiding is groot om het onderscheid tussen begripsdenken en beelddenken lineair te koppelen aan de maatschappelijke dichotomie in alfa’s en beta’s. Maar dan maken we de typische alfa-fout door een correlatie (samenhang) te interpreteren als een causaliteit (oorzaak-gevolg relatie).De meeste mensen mogen dan een afkeer hebben van rekensommen en wiskundige formules, dat wil niet zeggen dat ze ook allemaal beelddenkers zijn. Integendeel, het grootste deel van de bevolking heeft een dominante linker hersenhelft en kan worden gerekend tot de begripsdenkers.
Volgens het Rijnlandmodel wordt het alfa-denken, behalve door cijfervrees en een voorkeur voor woorden, gekenmerkt door een meer intuïtieve benadering van de werkelijkheid. Het beta-denken wordt gekarakteriseerd door een objectieve, algemeen geldende interpretatie van de werkelijkheid en over het algemeen wantrouwen beta-denkers de nauwgezetheid van een talige beschrijving.
Een neurologische verklaring voor het alfa- en beta-denken moet niet gezocht worden in de scheiding van de linker- en rechterhelft van de grote hersenen. Het gaat veel dieper.
Hoewel de meeste mensen een dominante linkerhersenhelft hebben en een aversie tegen wiskundige formules betekent dit niet automatisch dat begripsdenkers allemaal alfa’s zijn. De verschillende centra voor taalvaardigheden liggen weliswaar in de linkerhelft van de grote hersenen (cortex) maar dat geldt ook voor de rekenvaardigheden en het rationele denken in het algemeen. Dominantie van de linker- of rechter hersenhelft (begripsdenken of beeld-denken) is van belang voor een pedagogische aanpak in het (basis)onderwijs, maar iemands psychologische en sociale status als alfa of beta wordt er niet zondermeer door bepaald. In de neiging tot alfa- of beta-denken spelen ook de dieper gelegen tussenhersenen een niet te verwaarlozen rol. De hier gevolgde signaal-route * is bepalend voor een overwegend intuïtieve dan wel een analytische perceptie.
Daar komt de functionele asymmetrie (lateralisatie) van de cortex bovenop. De rationele, analytische linkerhelft is actief bij specifieke, individuele informatie terwijl de relationele, synthetische rechterhelft vooral werkzaam is bij algemene overzichten. Hoe minder er sprake is van lateralisatie, oftewel hoe meer beide hersenhelften in balans zijn (minder dominantie van één helft), des te beter is men in staat een wiskundig probleem op te lossen. Met andere woorden, beta’s hebben een efficiëntere informatie uitwisseling tussen de cerebrale hersenhelften dan alfa’s. Bij de laatsten is er meer dominantie van één van de helften, afhankelijk of men een begrips- of een beelddenker is.
Het verschil tussen alfa’s en beta’s hangt dus samen met de mate van dominantie tussen beide hersenhelften en de informatieverwerking van de emotie-organen. Dat leidt tot het zogenaamde symbooldenken (alfa) en abstractdenken (beta; niet te verwarren met abstractievermogen, dat is een afzonderlijke vaardigheid).
Mensen worden wel verdeeld in alfa’s en beta’s op grond van hun voorkeur voor talen, geschiedenis en godgeleerdheid enerzijds en exacte wetenschappen anderzijds. Alfa’s staan bekend als emotionele verhalenvertellers met een verzwakt gevoel voor moraliteit (politici) en een intuïtieve kijk op de wereld, sociaal vaardig maar met een grondige hekel aan getallen. Beta’s worden meer gezien als rationele en waarheidsgetrouwe maar wereldvreemde studiekoppen met een analytische blik op de wereld, technisch vaardig maar onhandig in de omgang. Het schisma tussen cijferangst (alfa) en woordvrees (beta) heeft te maken met een verschil tussen abstractdenken en symbooldenken. Symbolen zijn kwalitatieve begrippen, onafhankelijk van tijd. Getallen zijn ook symbolen maar rekenkundige bewerkingen vereisen wel tijd, waardoor het resultaat abstract wordt.
Alfa’s prefereren een overwegend statisch wereldbeeld waarin alles min of meer onveranderlijk is. Beschavingen ontstaan en verdwijnen weer. Er is geen wezenlijke ontwikkeling. Alfa's kunnen zich uitstekend vinden in zo’n tijdloos wereldbeeld. Deze visie heeft geen probleem met abstracte rekenregels. Alles bestaat immers al. Beta’s daarentegen hebben een dynamisch tijdsbesef. Zij geloven in voortdurende verandering. Om ons heen lijkt niets zich tijdens een mensenleven veel aan te trekken van ons streven naar vooruitgang, maar op termijn is er wel degelijk sprake van evolutie. Daarom houden ze van rekenregels die betrekking hebben op ontwikkelingsprocessen, waarbij bestaande elementen veranderen in iets nieuws en waarbij tijd een onontbeerlijke factor is.
Het onderscheid is opzettelijk zwartwit. In het echt is er een groot grijs gebied. Politici en juristen (overwegend alfa’s) hebben weinig benul van exacte wetenschappen, hackers en techneuten (overwegend bèta’s) houden niet van lezen (tenzij het over computers of auto’s gaat).
Alfa’s hebben een heilig ontzag voor het stopcontact, bèta’s zijn contactgestoord.
In de hersenen vinden twee fundamenteel verschillende processen van informatieverwerking plaats. Enerzijds is er de verwerking van de input door sensorische zintuigcellen naar de output van het motorisch systeem (waarneming leidt tot handeling). Anderzijds is er – ongetwijfeld als evolutionair uitvloeisel van die verwerking in de vorm van afweging, oordeel, verwachting en herinnering – de interne gedachtegang. Zonder te zijn waargenomen worden er beelden gevormd als symbolen van zingeving. En tellen kan ook zonder te verwijzen naar aantallen. Motiveren en calculeren zijn interne processen.
Een periode van zeven weken duurt ruim anderhalve maand. Meer precies duurt het zeven maal zeven (49) dagen. Een getal vermenigvuldigd met zichzelf noemen we een kwadraat. Volgens klassieke landmeters is dat het oppervlak van een vierkant. Uitbreiding of verlies van terrein verandert daar niets aan. Een vierkant erf van 49 m2 heeft een zijkant van 7 m lengte. Als je de erfgrens in alle richtingen ietsje oprekt, wordt het oppervlak 50 m2. Nu wordt de lengte van de zijkant 5√2 m. Maar hoe groot is √2? (√2 meet de diagonaal van een eenheidsvierkant). Hoeveel is ietsje?
Een periode van 50 dagen duurt ook ruim anderhalve maand, ietsje langer dan zeven weken. Meer precies 1/7 week langer. Maar hoe groot is 1/7? Kun je een taart in zeven gelijke stukjes verdelen?
Het probleem is dat √2, 1/7, π en meer van dergelijke onmeetbare getallen tot stand komen door relaties tussen andere getallen. Relationele concepten vormen bij uitstek het terrein van de rechterhersenhelft terwijl verreweg de meeste mensen over een dominante linkerhelft beschikken. Om dat te compenseren – en cijferangst bij alfa’s weg te nemen – wordt men gemotiveerd met symbolen van zingeving. Geen god, demon of andere esoterie maar simpele wiskunde, voor iedereen.
Zingeving is niet vanzelfsprekend in het (basis)onderwijs. Afgezien van wervende teksten over identiteit en levensbeschouwing wordt er in het curriculum nauwelijks aandacht aan besteed. De zin van je leven bepalen je ouders en de zin van rekenen is in handen van de docent. Maar die heeft dat zelf ook vaak niet door. Voor rekenen heb je tegenwoordig een machientje, dus wat voor zin heeft het nog om te leren rekenen?
Deze karikatuur benadrukt de maatschappelijke acceptatie van het symbooldenken als norm en het abstractdenken als niet meer dan gedoogd. Juist daarom is het gewenst dat symbolen als √2, 1/7 en π worden verheven tot goddelijke proporties in plaats van ze te bagatelliseren als simpele rekenresultaten.
De geringschatting jegens het abstractdenken stoelt, net als menig andere vorm van sociale discriminatie, op angst voor het onbekende. Reden te meer om zo vroeg mogelijk vertrouwd te raken met reken- en wiskundige begrippen. In tegenstelling tot taal en talige begrippen, waarmee men al vanaf de geboorte voortdurend wordt omringd, begint het rekenen stukje bij beetje pas na enkele jaren (na het voorbereidend tellen, vergelijken, ordenen e.d. meestal niet voor het 6e levensjaar). Het is daarom onontbeerlijk dat de ogenschijnlijk kinderachtige maar fundamentele rekenvaardigheden levenslang worden herhaald.
Zingeving is geen vak in (basis)onderwijs. Rekenen en taal, hoe de wereld in elkaar zit en waardoor dat zo is gekomen, dát leer je op school. Zingeving? Dat zoek je zelf maar uit. Natuurlijk bestaat er bijzonder onderwijs waar je verteld wordt wie je bent, waar je vandaan komt en wat de zin is van je bestaan. Maar hoe zit het met de zingeving van het getal?
Oefening door herhaling is onmiskenbaar zinvol. Door de steeds terugkerende mentale handeling wordt een (reken)vaardigheid als het ware ingesleten. Telkens als dezelfde hersencellen neurotransmitters afgeven, wordt het betreffende neurale netwerk sterker. Na verloop van tijd beklijven de vaardigheden in geheugencentra maar de opslag moet wel voortdurend worden onderhouden anders gaat ze verloren. Het schatten van aantallen en opdreunen van de tafels tot 10 moet net zo vanzelfsprekend zijn als onbeperkt tellen. Elektronische rekenhulpmiddelen zijn handig maar zonder elementaire rekenvaardigheden een handicap. Wat te doen als de batterij leeg is?
Zelfs als wiskunde slechts een product is van ons corpusculaire brein en dat de reconstructie van de astro- en kernfysische werkelijkheid berust op een illusie *, dan nog is de heimelijke minachting voor computernerds en soortgelijke bollebozen onterecht. Daarvoor zijn de mathematische leerstellingen in onze natuurlijke en technologische omgeving te succesvol gebleken.
Hoog tijd dat niemand er meer prat op gaat niets te snappen van (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 en hoe je een iPad repareert.
Rekenen vereist toewijding en concentratie. De bijbehorende hersenactiviteit vindt plaats in het werkgeheugen in de dorsolaterale prefrontale cortex. Door herhaling wordt dit deel van de hersenen vervolgens beter en sneller in het oplossen van het betreffende rekenprobleem, maar als er verder niets gebeurt, verdwijnt die vaardigheid weer na een paar dagen. Het meest verrassende is dat er, na intensief oefenen overdag, 's nachts tijdens de slaap ook veranderingen optreden in een ander hersengebied, de mediotemporale schors, die de locatie is van het midden-termijngeheugen. Die nieuwe structuren zorgen ervoor dat het oplossen van de problemen die de dag tevoren nog zoveel moeite kostten, nu met veel minder inspanning gepaard gaat. Het werkgeheugen vertoont daarbij minder activiteit omdat het middentermijngeheugen een groot deel van het werk heeft overgenomen.
Op deze locatie worden nu nieuwe verbindingen gevormd en nieuwe neuronale structuren aangebracht. Dat is een dynamisch proces dat moet worden onderhouden en verder kan worden ontwikkeld. Want bedenk wel dat zonder herhaling die vaardigheden na een paar maanden weer helemaal zijn verdwenen.
Daar stopt het nog proces niet. Door voortdurende oefening ontstaan er ook nieuwe structuren in andere hersengebieden. Onder andere in de intraparietale sulcus, een van de locaties van het langetermijngeheugen. Deze structuren zorgen ervoor dat de aangeleerde vaardigheden automatisch als routines kunnen worden uitgevoerd. Het aanbrengen van structuren in het langetermijngeheugen vereist evenwel heel veel oefening.
Nederlandstalige literatuur
Gerjanne Dirksen. Breindidactiek. Synaps, 2014
Jan van de Craats. Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Jan van de Craats, 2008 https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/zwartboek.pdf
Jan van de Craats. Leren rekenen in de 21e eeuw. Didactief, 2015 https://didactiefonline.nl/blog/blonz/hersenen-en-rekenen
Henriette van Eerde. Rekenen-wiskunde en taal: een didactisch duo. Panama-Post, 2009 http://www.fisme.science.uu.nl/publicaties/literatuur/7214.pdf
Dick Swaab. Wij zijn ons brein. Contact, 2010
Over Wereld & Denken, zie: https://www.rijnlandmodel.nl/index.html?menu=alg
Engelstalige literatuur
Stanislas Dehaene. The number sense. Oxford University Press, 2011
Samuel Ichiye Hayakawa. Laguage in thought and action. Wadsworth Publ., 1989 https://archive.org/stream/in.ernet.dli.2015.30957/2015.30957.Language-In-Thought-And-Action_djvu.txt
George Lakoff & Rafael Nuñez. Where mathematics come from. Ingram Publ. Services, 2001
Charles Snow. The two cultures. Cambridge University Press, 2012
Steve Stockdale. General semantics. Steve Stockdale, 2009 https://thisisnotthat.com/tintdocs/HSGS-CN-course.pdf
